Probabilidad Compuesta

Probabilidad Condicionada

Es aquella que se calcula cuando se ha incorporado información adicional a las condiciones iniciales. La probabilidad de ocurrencia de un suceso B, condicionada por la ocurrencia del suceso A, o probabilidad a posteriori, se denota P(B/A), y su valor se determina por la expresión:

 

Donde:

P(A∩B): Probabilidad de ocurrencia simultanea de los sucesos A y B

P(A): Probabilidad a priori

EJEMPLO 1

Determine el valor de la probabilidad de obtener un 2, sabiendo que ha salido un número par al lanzar un dado al aire.

SOLUCIÓN:

Primero se definen los sucesos:

Suceso P: salga un número par.          P = {2,4,6}

Suceso D: salga el número dos.          D = {2}

Suceso (P∩D): salga un número par y sea el dos.      (P∩D) = {2}

Luego, se calculan los valores de las probabilidades de ocurrencia

 

 Finalmente, se calcula la probabilidad condicionada:

 

EJEMPLO 2

En cierta habitación de hospital la probabilidad de que un paciente sea ingresado con problemas de presión arterial es de de 0,7; la probabilidad de que ingrese con problemas renales es 0,5 y la de que ingrese con ambos problemas es de 0,3. Hallar:

  1. La probabilidad de que un paciente que ha sido ingresado con problemas de presión arterial, padezca también de problemas renales.
  2. La probabilidad de que un paciente que ha sido ingresado con problemas renales, presente problemas de presión arterial.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso P: paciente que ingresa con problemas de presión arterial

Suceso R: paciente que ingresa con problemas renales

 a. La probabilidad de que un paciente con problemas de presión arterial también tenga problemas renales será:

 

b. La probabilidad de que un paciente que ha sido ingresado con problemas renales, presente problemas de presión arterial será:

 

Probabilidad Compuesta

Se conoce también como la Regla de multiplicación de probabilidades. La probabilidad de ocurrencia simultánea de dos sucesos “A y B” se denota P(A∩B), y se deriva de la probabilidad condicionada, matemáticamente:

 Si A y B son sucesos independientes, entonces,

 

Corolario: Sean A1, A2, A3, … , An sucesos independientes entre sí, entonces,

 

EJEMPLO 3

Se tiene una caja con tres bolas blancas y dos rojas, si se extraen al azar dos bolas consecutivamente y sin reemplazamiento de la caja, determine la probabilidad de que:

a. Ambas sean blancas.

b. Ambas sean rojas.

c. Sean de diferente color.

Determine los mismos valores de probabilidad si reemplazamos la bola extraída antes de sacar la segunda.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso B: extraer una bola blanca

Suceso R: extraer una bola roja

 Sin reemplazamiento

a.1- La probabilidad de extraer ambas bolas blancas será:

 

 Note que el cálculo de los valores de probabilidades se realizan a partir de la formula de probabilidad clásica y luego realizamos el producto.

 b.1- La probabilidad de extraer ambas bolas rojas será:

 

 c.1-  La probabilidad de extraer bolas de diferente color implica que la primera extracción sea una bola blanca y la segunda roja o viceversa, lo cual implica una unión de probabilidades, por lo tanto, tal valor de probabilidad será:

 

 Con reemplazamiento: en este caso se entiende que la extracción de cada bola es independiente de la anterior, esto se debe a que las condiciones no varían. Entonces:

a.2- La probabilidad de extraer ambas bolas blancas será:

Note que el cálculo de los valores de probabilidades se realizan a partir de la formula de probabilidad clásica y luego realizamos el producto.

b.2- La probabilidad de extraer ambas bolas rojas será:

c.2-  La probabilidad de extraer bolas de diferente color implica que la primera extracción sea una bola blanca y la segunda roja o viceversa, lo cual implica una unión de probabilidades, por lo tanto, tal valor de probabilidad será:

EJEMPLO 4

La probabilidad de que una persona obesa tenga también problemas coronarios es de 0,65. Si en una ciudad la probabilidad de que una persona sufra de problemas obesidad es de 58%. Determine el valor de la probabilidad de que una persona tenga problemas coronarios y sea obeso.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso C: persona con problemas coronarios

Suceso O: persona con problemas de obesidad

Se procede a identificar los datos:

P(C/O)= 0,65

P(O)= 0,58

Luego, la probabilidad de que una persona sufra de problemas de obesidad y coronarios será:

 

En una ciudad hay dos camiones de bomberos. La probabilidad de que un cada camión esté disponible si se necesitara es de 90%. Hay un incendio, se desea saber el valor de la probabilidad de que:

a. Ninguno,

b. Solo uno,

c. Ambos,

estén disponibles para acudir al llamado

 SOLUCIÓN:

Al no haber condición alguna de un camión sobre el otro, se entiende que la disponibilidad de los camiones es independiente, por lo tanto:

a. La probabilidad de que ninguno esté disponible será:

b. La probabilidad de solo un camión esté disponible, implica que el primero lo esté y el segundo no o viceversa, lo cual es una unión de probabilidades, por lo tanto, tal valor de probabilidad será:

c. La probabilidad de que ambos estén disponibles será:

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