Probabilidad de Unión

Regla de la suma de probabilidades

Sean A y B dos sucesos cualesquiera, entonces, la probabilidad de ocurrencia de los sucesos A o B, se conoce como la probabilidad de unión y se denota P(A U B) y su valor se determina mediante la expresión:

 

Si A y B son sucesos incompatibles entonces:

 

Corolario: Sean A1, A2, A3,…, An sucesos incompatibles entre sí, entonces, la probabilidad de unión de ellos será:

 

EJEMPLO 1

Los alumnos de Laboratorio de Biología tienen que realizar dos pruebas, una teórica y otra práctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte teórica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la parte práctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos exámenes?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos exámenes?

 SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

a. Suceso  = “ ni TEORÍA ni PRACTICA”. Luego, la probabilidad de no aprobar ni teoría ni práctica será:    

pero,   ,

entonces,  ,

por lo tanto,

b. Suceso  = “aprobar solo teoría”, luego, la probabilidad de aprobar solo teoría será:

Suceso = “aprobar solo practica”, luego, la probabilidad de aprobar solo practica será:


entonces, la probabilidad de aprobar “solo una” se refiere a aprobar solo la teoría o solo la práctica. Al ser sucesos incompatibles entonces la probabilidad de unión se calcula por:

EJEMPLO 2

En cierta habitación de hospital la probabilidad de que un paciente sea ingresado con problemas de presión arterial es de de 0,7; la probabilidad de que ingrese con problemas renales es 0,5 y la de que ingrese con ambos problemas es de 0,3. Hallar:

  1. La probabilidad de que un paciente ingrese con al menos una de las dos patologías.
  2. La probabilidad de que no presente ninguna de las dos patologías.
  3. La probabilidad de que ingrese con problemas renales y sin problemas de presión arterial.

 SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso P: paciente que ingresa con problemas de presión arterial

Suceso R: paciente que ingresa con problemas renales

a. La probabilidad que un paciente ingrese con al menos una de las dos patologías es que ingrese con problemas renales o con problemas de presión arterial, lo que se denota como:

b. La probabilidad que sea ingresado con otra patología que no sea ni presión arterial ni renal viene a ser el complemento de que ingrese con alguna de las dos. Por lo tanto, esta probabilidad será:

 

c. Esta puede entenderse como la probabilidad de que sea ingresado solo con problemas renales, entonces:

 

EJEMPLO 3 

Suponga que el 70% de los crímenes ocurren de noche y que la probabilidad de ser asaltado, golpeado y de día es 0,2; mientras que de un total de 6528 asaltos 3798 se llevaron a cabo con violencia.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar una persona asaltada, golpeada y de noche?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a una persona asaltada sin violencia?

 SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso V: crimen con violencia

Suceso D: crimen de día

Suceso N: crimen de noche

 Para la resolución de este problema debemos hacer una combinación de las formas de calcular las probabilidades de ocurrencia, puesto que tenemos algunos datos en frecuencia relativa y otros en frecuencia absoluta. Para esos datos, debemos utilizar la fórmula de la probabilidad clásica.

El 70% de los crímenes ocurren de noche, entonces, P(N)= 0,7; por tanto, P(D)=0,3

Si 3798 crímenes se cometieron con violencia, entonces 2730 ocurrieron sin violencia

Entonces:

 

Por último,

 

Con estos datos se procede a determinar los valores de probabilidades

 a. La probabilidad de que una persona de asaltada, golpeada y de noche se puede entender como “con violencia y de noche”. Entonces, se sabe que:

 

b.

también, esta pregunta puede responderse a partir de su complemento, es decir,

 

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